Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incógnitas
domingo, 5 de junio de 2016
Solución: Método de Igualación
Para solucionar un sistema de ecuaciones simultáneas de
primer grado con dos incógnitas por el método de igualación, se escoge una
variable para ser eliminada.
Se procede a despejar cada ecuación en función de
la variable no seleccionada, igualando los términos obtenidos. Así se logra
eliminar la variable escogida, resultando en una ecuación con una incógnita y
ésta se soluciona.
Con el valor de la variable obtenida se soluciona cualquiera
de las dos ecuaciones propuestas y se solucionará el sistema.
Proceso:
aX + bY
= c
(1)
dX + eY
= f
(2)
Si se desea
eliminar o reducir la variable X; se despejarán la ecuación (1) y la ecuación
(2) en función de Y. (Se despeja X). Se igualarán los términos obtenidos.
De Ecuación (1)
|
De Ecuación (2)
|
aX + bY = c
|
dX + eY = f
|
aX = c – bY
|
dX = f – eY
|
a
|
d
|
Se igualan los términos obtenidos:
| |
a d
|
|
Transposición
de términos
d·(c – bY) =
a·(f – eY)
Al efectuar
el producto indicado se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita
y ésta se resuelve, obteniendo el valor de
Ejemplo
Solucionar
el sistema
5X – 4Y = 7
(1)
–2X + 5Y =
4 (2)
De Ecuación (1)
|
De Ecuación (2)
|
5X – 4Y = 7
|
–2X + 5Y = 4
|
5X = 7 + 4Y
|
–2X = 4 – 5Y
|
5
|
–2
|
Se igualan los términos obtenidos:
|
|
5 –2
|
|
Transposición
de términos
–2·(7 + 4Y)
= 5·(4 – 5Y)
Resolver el
producto indicado
– 14 – 8Y =
20 – 25Y
Despejar Y
– 8Y + 25Y =
20 + 14
17Y
= 34
Y = 34/17
Y = 2
Con este resultado se hallará X solucionando la ecuación (1)
0 la ecuación (2)
En ecuación (1) se reemplaza Y = 2
5X – 4Y =
7 (1)
5X – 4(2)
=
7
5X – 8 = 7
5X =
7 + 8
5X
= 15
X
= 15/5
X = 3
Para comprobar si el resultado es correcto,
simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y
se verifica su equivalencia.
Para X = 3
Y = 2 se reemplaza
5X – 4Y
= 7
(1)
–2X + 5Y =
4
(2)
5(3)
– 4(2) =
7 –2(3) + 5(2)
= 4
15 – 8 =
7
–6 +
10 = 4
7 = 7
Ok 4 =
4 OK
Puedes revisar el siguiente video:
Puedes revisar el siguiente video:
Tomado de https://vimeo.com/101478495. Video creative commons.
Autor: CEPA Teresa Enríquez
Observa el siguiente recurso:
sábado, 4 de junio de 2016
Solución: Método de Reducción
Para solucionar un sistema de ecuaciones simultáneas de
primer grado con dos incógnitas por el método de reducción, se escoge una
variable para ser reducida o eliminada.
Se procede a multiplicar cada ecuación
por el coeficiente de la variable seleccionada de la ecuación alterna teniendo
en cuenta que en uno de los dos productos se cambiará el signo.
El Producto de
las dos ecuaciones se suma algebraicamente y así se logra eliminar la variable
escogida, resultando en una ecuación con una incógnita y ésta se soluciona.
Con
el valor de la variable obtenido se soluciona cualquiera de las dos ecuaciones
propuestas y se solucionará el sistema.
Proceso:
aX + bY
= c
(1)
dX + eY = f (2)
Si se desea
eliminar o reducir la variable X; se multiplicará la ecuación (1) por el
coeficiente d de la ecuación (2) y se multiplicará la ecuación (2) por el
coeficiente a (con signo negativo) de la ecuación (1)
d · (aX + bY = c)
–a · (dX + eY = f)
+ (Suma
Algebraica)
Si se desea
eliminar o reducir la variable Y; se multiplicará la ecuación (1) por el
coeficiente e de la ecuación (2) y se multiplicará la ecuación (2) por el
coeficiente b (con signo negativo) de la ecuación (1)
e ·
(aX + bY = c)
–b · (dX + eY = f)
+ (Suma
Algebraica)
Ejemplo:
Solucionar el sistema
2X + 3Y
= 7 (1)
–4X – 10Y = -10 (2)
SOLUCIÓN REDUCIENDO LA VARIABLE X
Multiplicar ecuación (1) por –4; multiplicar ecuación (2) por
–2
–4 · (2X + 3Y = 7) →
–8X – 12Y = –28
–2 · (–4X – 10Y = –10) → 8X
+ 20Y = 20 +
8Y = – 8
Y = –8/8
Y = –1
Con este resultado se hallará X solucionando la ecuación (1)
o la ecuación (2)
En ecuación (1) se reemplaza Y = –1
2X + 3Y
= 7 (1)
2X + 3(–1) = 7
2X – 3
= 7
2X
= 7 + 3
2X
= 10
X
= 10/2
X = 5
Para comprobar si el resultado es correcto,
simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y
se verifica su equivalencia.
Para X = 5
Y = –1 se reemplaza
2X + 3Y = 7
(1)
–4X – 10Y = -10 (2)
2(5) + 3(–1) = 7 –4(5) – 10(–1) =
–10
10 –
3 = 7
–20
+ 10 = –10
7 = 7
Ok
– 10 = –10
OK
SOLUCIÓN REDUCIENDO LA VARIABLE Y
Multiplicar ecuación (1) por –10; multiplicar ecuación (2)
por –3
–10 · (2X + 3Y = 7)
→ –20X – 30Y = –70
–3 · (–4X – 10Y = –10) → 12X
+ 30Y = 30 +
–8X = – 40
X = –40/–8
X = 5
Con este resultado se hallará Y solucionando la ecuación (1)
o la ecuación (2)
En ecuación (1) se reemplaza X = 5
2X + 3Y
= 7 (1)
2(5) + 3Y
= 7
10 + 3Y
= 7
3Y =
7 – 10
3Y
= – 3
Y
= –3/3
Y = –1
Para comprobar si el resultado es correcto,
simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y
se verifica su equivalencia.
Para X = 5
Y = –1 se reemplaza
2X + 3Y = 7
(1)
–4X – 10Y = -10 (2)
2(5) + 3(–1) = 7 –4(5) – 10(–1) =
–10
10 –
3 = 7 –20 + 10
= –10
7 = 7
Ok
– 10 = –10
OK
viernes, 3 de junio de 2016
Solución: Método Gráfico
Para solucionar un sistema de ecuaciones simultáneas de
primer grado con dos incógnitas por el método gráfico, se grafican en el mismo
plano cartesiano dichas ecuaciones y en el punto donde ellas se corten se leen
sus coordenadas solucionando el sistema.
Sugerencia: Para facilitar la obtención de los valores de
las coordenadas de dos puntos de cada gráfica se recomienda despejar la
variable Y de cada ecuación.
Ejemplo:
Solucionar el sistema
3X + 4Y = 10 (1)
-2X + Y = -3 (2)
De la ecuación (1)
Para X = 0 3(0) + 4Y = 10
4Y = 10
Y =
10/4 Y = 2,5 Se obtiene la Coordenada (0; 2,5)
Para Y = 0 3X + 4(0) = 10
3X = 10
X = 10/3 X = 3,3
Se obtiene la Coordenada (3,3; 0)
De la ecuación (2)
Para X = 0 -2(0) + Y = -3
Y = -3 Y = -3 Se obtiene la Coordenada (0; -3)
Para Y = 0 -2X + (0) = -3
-2X = -3
X = -3/-2 X = 1,5
Se obtiene la Coordenada (1,5; 0)
Se grafica cada ecuación a partir de las coordenada
obtenidas.
En la gráfica la línea Azul corresponde a: 3X + 4Y = 10
En la gráfica la línea Roja corresponde a: -2X + Y = -3
EL PUNTO DE CORTE OBTENIDO ES (2; 1)
LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES SERÁ:
X = 2
; Y = 1
Para comprobar si el resultado es correcto,
simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y
se verifica su equivalencia.
Para X = 2
Y = 1 se reemplaza
3X + 4Y = 10 (1) -2X
+ Y = -3 (2)
3(2) + 4(1) =
10 -2(2) + (1) =
-3
6 +
4 = 10 -4 +
1 = -3
10 = 10
Ok -3 = -3
Ok
También puedes observar los siguientes videos
Video tomado de https://www.youtube.com/watch?v=NZ2RiPNxL1o. Creative commons
Autor: Miguel Martínez Medina
Observa el siguiente recurso:
jueves, 2 de junio de 2016
Sistemas de Ecuaciones Simultáneas de Primer Grado con dos Incógnitas
Cuando se tiene más de una ecuación de primer grado con dos
incógnitas se obtiene un sistema de ecuaciones simultáneas. Para solucionar un
sistema de ecuaciones de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se
requiere tener como mínimo dos ecuaciones.
SOLUCIONAR un sistema de dos
ecuaciones de primer grado con dos incógnitas consiste en HALLAR LOS VALORES de
X e Y que SIMULTÁNEAMENTE DEN CUMPLIMIENTO A LAS ECUACIONES.
Para solucionar este tipo de sistemas existen cinco (5)
métodos diferentes que se utilizarán de acuerdo a su conveniencia o facilidad
de aplicación según sea el caso.
Estos métodos de solución de sistemas de ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas son:
Método Gráfico.
Método de Reducción
Método de Igualación.
Método de Sustitución
Método de Determinantes. Regla de Kramer
Consulta:
Estudiaremos en las siguientes clases algunos métodos para resolver estos sistemas de ecuaciones.
Repasa el video de cómo se construye la gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
TAMBIÉN CONSULTA EL SIGUIENTE RECURSO
http://www.colombiaaprende.edu.co//recursos/skoool/algebra/sistemas_de_ecuaciones_lineales/index.html:
Practica aqui:
http://www.colombiaaprende.edu.co//recursos/skoool/algebra/sistemas_de_ecuaciones_lineales/index.html:
Practica aqui:
miércoles, 1 de junio de 2016
Ecuaciones de Primer Grado con dos incógnitas.
Son expresiones algebraicas en las cuales existen dos
variables o incógnitas, generalmente nombradas por las letras X e Y (con
potencia = 1), términos constantes o
coeficientes y término independiente.
Ejemplo:
3X + 2Y = 6
Donde X e Y son Variables o Incógnitas.
3 y 2 son los coeficientes de X e Y respectivamente.
6 es el Término Independiente.
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas puede ser
graficada obteniendo una línea recta. Para ello simplemente se supone un valor
de una de las variables (generalmente X) y se obtiene el valor de la otra
variable, en este caso Y, generando de esta manera un punto o coordenada (x, y).
Para graficar una expresión de esta forma únicamente se requiere conocer el
valor de dos coordenadas (x, y) y unirlos.
Mira el video de introducción
Video de Repaso soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita:
Video Tomado de: https://vimeo.com/100713141 Creative commons
Autora: valeria calvinisti.
Consulta el siguiente recurso:
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