Para solucionar un sistema de ecuaciones simultáneas de
primer grado con dos incógnitas por el método de reducción, se escoge una
variable para ser reducida o eliminada.
Se procede a multiplicar cada ecuación
por el coeficiente de la variable seleccionada de la ecuación alterna teniendo
en cuenta que en uno de los dos productos se cambiará el signo.
El Producto de
las dos ecuaciones se suma algebraicamente y así se logra eliminar la variable
escogida, resultando en una ecuación con una incógnita y ésta se soluciona.
Con
el valor de la variable obtenido se soluciona cualquiera de las dos ecuaciones
propuestas y se solucionará el sistema.
Proceso:
aX + bY
= c
(1)
dX + eY = f (2)
Si se desea
eliminar o reducir la variable X; se multiplicará la ecuación (1) por el
coeficiente d de la ecuación (2) y se multiplicará la ecuación (2) por el
coeficiente a (con signo negativo) de la ecuación (1)
d · (aX + bY = c)
–a · (dX + eY = f)
+ (Suma
Algebraica)
Si se desea
eliminar o reducir la variable Y; se multiplicará la ecuación (1) por el
coeficiente e de la ecuación (2) y se multiplicará la ecuación (2) por el
coeficiente b (con signo negativo) de la ecuación (1)
e ·
(aX + bY = c)
–b · (dX + eY = f)
+ (Suma
Algebraica)
Ejemplo:
Solucionar el sistema
2X + 3Y
= 7 (1)
–4X – 10Y = -10 (2)
SOLUCIÓN REDUCIENDO LA VARIABLE X
Multiplicar ecuación (1) por –4; multiplicar ecuación (2) por
–2
–4 · (2X + 3Y = 7) →
–8X – 12Y = –28
–2 · (–4X – 10Y = –10) → 8X
+ 20Y = 20 +
8Y = – 8
Y = –8/8
Y = –1
Con este resultado se hallará X solucionando la ecuación (1)
o la ecuación (2)
En ecuación (1) se reemplaza Y = –1
2X + 3Y
= 7 (1)
2X + 3(–1) = 7
2X – 3
= 7
2X
= 7 + 3
2X
= 10
X
= 10/2
X = 5
Para comprobar si el resultado es correcto,
simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y
se verifica su equivalencia.
Para X = 5
Y = –1 se reemplaza
2X + 3Y = 7
(1)
–4X – 10Y = -10 (2)
2(5) + 3(–1) = 7 –4(5) – 10(–1) =
–10
10 –
3 = 7
–20
+ 10 = –10
7 = 7
Ok
– 10 = –10
OK
SOLUCIÓN REDUCIENDO LA VARIABLE Y
Multiplicar ecuación (1) por –10; multiplicar ecuación (2)
por –3
–10 · (2X + 3Y = 7)
→ –20X – 30Y = –70
–3 · (–4X – 10Y = –10) → 12X
+ 30Y = 30 +
–8X = – 40
X = –40/–8
X = 5
Con este resultado se hallará Y solucionando la ecuación (1)
o la ecuación (2)
En ecuación (1) se reemplaza X = 5
2X + 3Y
= 7 (1)
2(5) + 3Y
= 7
10 + 3Y
= 7
3Y =
7 – 10
3Y
= – 3
Y
= –3/3
Y = –1
Para comprobar si el resultado es correcto,
simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y
se verifica su equivalencia.
Para X = 5
Y = –1 se reemplaza
2X + 3Y = 7
(1)
–4X – 10Y = -10 (2)
2(5) + 3(–1) = 7 –4(5) – 10(–1) =
–10
10 –
3 = 7 –20 + 10
= –10
7 = 7
Ok
– 10 = –10
OK
