domingo, 5 de junio de 2016

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Solución: Método de Igualación

Para solucionar un sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas por el método de igualación, se escoge una variable para ser eliminada. 

Se procede a despejar cada ecuación en función de la variable no seleccionada, igualando los términos obtenidos. Así se logra eliminar la variable escogida, resultando en una ecuación con una incógnita y ésta se soluciona.

Con el valor de la variable obtenida se soluciona cualquiera de las dos ecuaciones propuestas y se solucionará el sistema.
Proceso:

aX + bY =  c  (1)
dX + eY =  f   (2)

Si se desea eliminar o reducir la variable X; se despejarán la ecuación (1) y la ecuación (2) en función de Y. (Se despeja X). Se igualarán los términos obtenidos.

De Ecuación (1)
De Ecuación (2)


aX + bY =  c
dX + eY =  f


aX = c – bY
dX = f – eY


        
         
X =   c – bY
X =    f – eY
            a
            d
Se igualan los términos obtenidos:




                      c – bY             =      f – eY

                         a                              d
  


Transposición de términos

d·(c – bY) = a·(f – eY)
Al efectuar el producto indicado se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita y ésta se resuelve, obteniendo el valor de

Ejemplo

Solucionar el sistema

  5X – 4Y = 7  (1)
–2X + 5Y = 4  (2)

De Ecuación (1)
De Ecuación (2)


5X – 4Y = 7
–2X + 5Y = 4


5X = 7 + 4Y
–2X = 4 – 5Y


         
         
X =   7 + 4Y
X =   4 – 5Y
            5
            –2
Se igualan los términos obtenidos:



                                          

                      7 + 4Y        =          4 – 5Y

                         5                             –2
  


Transposición de términos

–2·(7 + 4Y) = 5·(4 – 5Y)

Resolver el producto indicado

– 14 – 8Y = 20 – 25Y

Despejar Y

– 8Y + 25Y = 20 + 14
      
           17Y  =  34

                Y = 34/17

                Y = 2

Con este resultado se hallará X solucionando la ecuación (1) 0 la ecuación (2)
En ecuación (1) se reemplaza Y = ­­2

  5X  –  4Y   = 7  (1) 

 5X   – 4(2)   =  7

5X    –   8      =  7

            5X     =  7  +  8

            5X   =   15

              X    =  15/5

              X    =   3

Para comprobar si el resultado es correcto, simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y se verifica su equivalencia.

Para X = 3    Y = ­2 se reemplaza
 
5X     –    4Y =     7  (1)                                 –2X  +    5Y        =    4  (2)

5(3)  –    4(2) =    7                                        ­­–2(3) ­­+  5(­2)       =     4
 15    ­­–     8    =     7                                       ­­–6    ­+  10        =     ­­ 4
          7          =     7    Ok                                       ­­ 4              =     ­­ 4   OK


Puedes revisar el siguiente video:
Tomado de https://vimeo.com/101478495. Video creative commons.


sábado, 4 de junio de 2016

Solución: Método de Reducción

Para solucionar un sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción, se escoge una variable para ser reducida o eliminada. 

Se procede a multiplicar cada ecuación por el coeficiente de la variable seleccionada de la ecuación alterna teniendo en cuenta que en uno de los dos productos se cambiará el signo.

El Producto de las dos ecuaciones se suma algebraicamente y así se logra eliminar la variable escogida, resultando en una ecuación con una incógnita y ésta se soluciona.

Con el valor de la variable obtenido se soluciona cualquiera de las dos ecuaciones propuestas y se solucionará el sistema.

Proceso:
aX + bY =  c  (1)
dX + eY =  f   (2)

Si se desea eliminar o reducir la variable X; se multiplicará la ecuación (1) por el coeficiente d de la ecuación (2) y se multiplicará la ecuación (2) por el coeficiente a (con signo negativo) de la ecuación (1)

     d · (aX + bY =  c) 
    –a · (dX + eY =  f)     
   + (Suma Algebraica)

Si se desea eliminar o reducir la variable Y; se multiplicará la ecuación (1) por el coeficiente e de la ecuación (2) y se multiplicará la ecuación (2) por el coeficiente b (con signo negativo) de la ecuación (1)

      e · (aX + bY =  c) 
    –b · (dX + eY =  f)     
   + (Suma Algebraica)

Ejemplo:

Solucionar el sistema

    2X + 3Y  = 7       (1)
–4X – 10Y = -10     (2)

SOLUCIÓN REDUCIENDO LA VARIABLE X

Multiplicar ecuación (1) por –4; multiplicar ecuación (2) por –2
  –4 · (2X + 3Y  = 7)         →   –8X – 12Y  =  –28
 –2 · (–4X – 10Y = –10)   →     8X + 20Y  =     20  +
                                                              8Y  =  – 8

                                                                Y = –8/8

                                                                Y = ­–1
Con este resultado se hallará X solucionando la ecuación (1) o la ecuación (2)

En ecuación (1) se reemplaza Y = ­­–1
    2X + 3Y  = 7       (1)
2X + 3(­­–1)  =  7
2X   ­­–    3    =  7
          2X   =  7  ­+  3
          2X   =   10
            X    =  10/2

            X    =   5

Para comprobar si el resultado es correcto, simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y se verifica su equivalencia.

Para X = 5    Y = ­–1 se reemplaza
 
    2X + 3Y   =    7       (1)                                 –4X – 10Y     =      -10    (2)
 2(5) + 3(­­–1) =    7                                        ­­–4(5) ­­– 10(­–1)    =     ­­–10
   10   ­­–   3    =     7                                       ­­–20    ­+  10          =     ­­–10
          7         =     7    Ok                                       ­­– 10            =     ­­–10  OK

 


SOLUCIÓN REDUCIENDO LA VARIABLE Y

Multiplicar ecuación (1) por –10; multiplicar ecuación (2) por –3

 –10 · (2X + 3Y  = 7)         →   –20X – 30Y  =  –70
–3 · (–4X – 10Y = –10)     →     12X + 30Y  =     30  +
                                                   –8X              =  – 40

                                                                X = –40/–8

                                                                X = 5

Con este resultado se hallará Y solucionando la ecuación (1) o la ecuación (2)

En ecuación (1) se reemplaza X = ­­5

    2X + 3Y  = 7       (1)
 2(5) + 3Y  =  7
  10  +  3Y  =  7
            3Y   =  7  – 10
            3Y   =   – 3
              Y    =  –3/3

              Y    =   –1

Para comprobar si el resultado es correcto, simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y se verifica su equivalencia.

Para X = 5    Y = ­–1 se reemplaza
 
    2X + 3Y     =    7       (1)                                 –4X – 10Y    =      -10    (2)
 2(5) + 3(­­–1)  =    7                                        ­­–4(5) ­­– 10(­–1)    =     ­­–10
   10   ­­–   3     =     7                                       ­­–20    ­+    10        =     ­­–10
          7          =     7    Ok                                       ­­– 10            =     ­­–10  OK


viernes, 3 de junio de 2016

Solución: Método Gráfico

Para solucionar un sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas por el método gráfico, se grafican en el mismo plano cartesiano dichas ecuaciones y en el punto donde ellas se corten se leen sus coordenadas solucionando el sistema.

Sugerencia: Para facilitar la obtención de los valores de las coordenadas de dos puntos de cada gráfica se recomienda despejar la variable Y de cada ecuación.

Ejemplo:
Solucionar el sistema

3X + 4Y = 10  (1)
-2X + Y = -3    (2)

De la ecuación (1)
Para X = 0      3(0) + 4Y = 10
                                   4Y = 10
                                     Y = 10/4      Y = 2,5   Se obtiene la Coordenada (0; 2,5)

Para Y = 0      3X + 4(0) = 10
                                   3X = 10
                                     X = 10/3      X = 3,3   Se obtiene la Coordenada (3,3; 0)

De la ecuación (2)
Para X = 0      -2(0) + Y = -3
                                     Y = -3      Y = -3   Se obtiene la Coordenada (0; -3)

Para Y = 0      -2X + (0) = -3
                                 -2X = -3
                                     X = -3/-2      X = 1,5   Se obtiene la Coordenada (1,5; 0)

Se grafica cada ecuación a partir de las coordenada obtenidas.

En la gráfica la línea Azul corresponde a:     3X + 4Y = 10
En la gráfica la línea Roja corresponde a:    -2X + Y = -3


EL PUNTO DE CORTE OBTENIDO ES (2; 1)

LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES SERÁ:
X = 2  ;  Y = 1

Para comprobar si el resultado es correcto, simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y se verifica su equivalencia.

Para X = 2    Y = 1 se reemplaza
 
3X + 4Y    = 10  (1)                                            -2X + Y = -3    (2)
3(2) + 4(1) =     10                                       -2(2) + (1)     =     -3
   6   +   4   =     10                                          -4    +  1      =     -3
        10         =     10    Ok                                                       -3         =     -3   Ok

También puedes observar los siguientes videos
Video tomado de https://www.youtube.com/watch?v=NZ2RiPNxL1o. Creative commons
Autor: Miguel Martínez Medina

Observa el siguiente recurso:

jueves, 2 de junio de 2016

Sistemas de Ecuaciones Simultáneas de Primer Grado con dos Incógnitas

Cuando se tiene más de una ecuación de primer grado con dos incógnitas se obtiene un sistema de ecuaciones simultáneas. Para solucionar un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se requiere tener como mínimo dos ecuaciones. 
SOLUCIONAR un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas consiste en HALLAR LOS VALORES de X e Y que SIMULTÁNEAMENTE DEN CUMPLIMIENTO A LAS ECUACIONES.

Para solucionar este tipo de sistemas existen cinco (5) métodos diferentes que se utilizarán de acuerdo a su conveniencia o facilidad de aplicación según sea el caso.
Estos métodos de solución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son:
Método Gráfico.
Método de Reducción
Método de Igualación.
Método de Sustitución
 Método de Determinantes. Regla de Kramer
    Consulta:



Estudiaremos en las siguientes clases algunos métodos para resolver estos sistemas de ecuaciones.

Repasa el video de cómo se construye la gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.


   

miércoles, 1 de junio de 2016

Ecuaciones de Primer Grado con dos incógnitas.

Son expresiones algebraicas en las cuales existen dos variables o incógnitas, generalmente nombradas por las letras X e Y (con potencia  = 1), términos constantes o coeficientes y término independiente.

Ejemplo:

3X + 2Y = 6

Donde X e Y son Variables o Incógnitas.

3 y 2 son los coeficientes de X e Y respectivamente.

6 es el Término Independiente.


Una ecuación de primer grado con dos incógnitas puede ser graficada obteniendo una línea recta. Para ello simplemente se supone un valor de una de las variables (generalmente X) y se obtiene el valor de la otra variable, en este caso Y, generando de esta manera un punto o coordenada (x, y). Para graficar una expresión de esta forma únicamente se requiere conocer el valor de dos coordenadas (x, y) y unirlos.

Mira el video de introducción

Video de Repaso soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita:
Video Tomado de: https://vimeo.com/100713141 Creative commons
Autora: valeria calvinisti.


Consulta el siguiente recurso: