Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incógnitas: Solución: Método de Reducción

Para solucionar un sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción, se escoge una variable para ser reducida o eliminada.

Se procede a multiplicar cada ecuación por el coeficiente de la variable seleccionada de la ecuación alterna teniendo en cuenta que en uno de los dos productos se cambiará el signo.

El Producto de las dos ecuaciones se suma algebraicamente y así se logra eliminar la variable escogida, resultando en una ecuación con una incógnita y ésta se soluciona.

Con el valor de la variable obtenido se soluciona cualquiera de las dos ecuaciones propuestas y se solucionará el sistema.

Proceso:

aX + bY = c (1)

dX + eY = f (2)

Si se desea eliminar o reducir la variable X; se multiplicará la ecuación (1) por el coeficiente d de la ecuación (2) y se multiplicará la ecuación (2) por el coeficiente a (con signo negativo) de la ecuación (1)

d · (aX + bY = c)

–a · (dX + eY = f)

+ (Suma Algebraica)

Si se desea eliminar o reducir la variable Y; se multiplicará la ecuación (1) por el coeficiente e de la ecuación (2) y se multiplicará la ecuación (2) por el coeficiente b (con signo negativo) de la ecuación (1)

e · (aX + bY = c)

–b · (dX + eY = f)

+ (Suma Algebraica)

Ejemplo:

Solucionar el sistema

2X + 3Y = 7 (1)

–4X – 10Y = -10 (2)

SOLUCIÓN REDUCIENDO LA VARIABLE X

Multiplicar ecuación (1) por –4; multiplicar ecuación (2) por –2

–4 · (2X + 3Y = 7) → –8X – 12Y = –28

–2 · (–4X – 10Y = –10) → 8X + 20Y = 20 +

8Y = – 8

Y = –8/8

Y = –1

Con este resultado se hallará X solucionando la ecuación (1) o la ecuación (2)

En ecuación (1) se reemplaza Y = –1

2X + 3Y = 7 (1)

2X + 3(–1) = 7

2X – 3 = 7

2X = 7 + 3

2X = 10

X = 10/2

X = 5

Para comprobar si el resultado es correcto, simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y se verifica su equivalencia.

Para X = 5 Y = –1 se reemplaza

2X + 3Y = 7 (1) –4X – 10Y = -10 (2)

2(5) + 3(–1) = 7 –4(5) – 10(–1) = –10

10 – 3 = 7 –20 + 10 = –10

7 = 7 Ok – 10 = –10 OK

SOLUCIÓN REDUCIENDO LA VARIABLE Y

Multiplicar ecuación (1) por –10; multiplicar ecuación (2) por –3

–10 · (2X + 3Y = 7) → –20X – 30Y = –70

–3 · (–4X – 10Y = –10) → 12X + 30Y = 30 +

–8X = – 40

X = –40/–8

X = 5

Con este resultado se hallará Y solucionando la ecuación (1) o la ecuación (2)

En ecuación (1) se reemplaza X = 5

2X + 3Y = 7 (1)

2(5) + 3Y = 7

10 + 3Y = 7

3Y = 7 – 10

3Y = – 3

Y = –3/3

Y = –1

Para comprobar si el resultado es correcto, simplemente se reemplazan los valores obtenidos en las ecuaciones propuestas y se verifica su equivalencia.

Para X = 5 Y = –1 se reemplaza

2X + 3Y = 7 (1) –4X – 10Y = -10 (2)

2(5) + 3(–1) = 7 –4(5) – 10(–1) = –10

10 – 3 = 7 –20 + 10 = –10

7 = 7 Ok – 10 = –10 OK